所谓“几何作图三难题”，之所以“难”，只是因为受作图工具的限制(只允许圆规和直尺)。如果取消了这个限制，所谓的“几何作图问题”就可以解决了，并不难。2000多年来，人们遵循欧几里得的几何图形只能用圆规和直尺的规则，这已经相当苛刻了。更有甚者，甚至有人提出，画图只能用圆规或直尺，并对此进行了研究。
仅用圆规绘图
意大利数学家马索罗尼甚至可以摆脱尺子。他巧妙地证明了所有能用圆规和尺子做出的图形也可以只用圆规做出。他自己的研究成果被写成了一本关于指南针几何的专著(据说比马索罗尼早一个世纪的丹麦数学家赫尔姆斯·列夫已经把指南针几何方面的成就收入了他的著作《欧几里得作图》)。
因为只靠圆规是画不出直线的，这里约定只要知道了直线上的两点，就算已经确定了直线。
1.问题解决
要仅使用圆规而不是圆规和尺子进行绘图，必须让圆规做以下两件事:
(1)求一条直线与已知两点和已知圆的交点；
(2)求两条直线与两个已知点的交点。
对于第一件事①，它分为:
如果已知一个圆的圆心o不在直线AB上，如图1:可以画一条以A点为圆心，AO点为半径，B点为圆心，BO点为半径的圆弧。两条圆弧相交于另一点O’，然后以O’为圆心做一个半径与圆O相同的圆，两个圆在C和D的交点就是要求的两个交点。
如果已知圆心o在直线AB上，请自己找出直线与圆的两个交点。
对于第(2)件事，完成起来并不难，但由于篇幅有限，留给读者去思考，这样可以训练他们的画图技巧。
这两个基本的图纸，原来都是一把尺子完成，现在都是圆规独立完成，这样就只能用圆规来代替圆规和尺子同时完成的图纸了。这种独特的绘图过程虽然繁琐，实际意义不大，但充分说明圆规比尺子更灵巧。它的许多精美的绘画方法闪耀着人类智慧的光辉，有助于丰富人们的思维。因此，它仍然是数学花园中的一朵奇葩。
2.拿破仑的圆划分问题
法国大革命中的风云人物拿破仑，尽管南征北战，仍对平面几何感兴趣，并花了些时间研究它。他读过《指南针几何》这本书，一激动就给法国数学家出了一道题:“把一个圆分成四等份，但不允许用尺子。”
他本人已经研究并圆满解决了这个问题:如图2所示，取圆内任意一点A，从A出发，以这个圆的半径R依次截取B、C、D三点，那么AD显然是圆的直径，而AC是圆的内接正三角形的边。所以画一条以A和D为圆心，AC为半径的圆弧，两条圆弧与M相交，线段OM的长度为圆的内侧。所以，从圆上的任意一点开始，依次截取om的长度，就可以在周四平分圆。这是因为，在Rt△MAO:是圆的内接正方形的边长。
3.生锈的圆规
美国几何学家、70多岁的老教授佩多敏锐地意识到，在一个固定半径罗盘的画法中，可能隐藏着有趣的奥秘，他称之为生锈的罗盘。1982年，裴在一本加拿大杂志上精心挑选了两个问题来寻求答案:
(1)已知两点a和b，只用一个生锈的圆规，求以AB为边的正三角形的另一个顶点c；
(2)已知两点A和B，只用一个生锈的圆规求AB的中点C。(你要知道线段AB是不画的，因为没有尺子！)
后来事情的发展表明，正是因为这两个问题的解决，锈圆规的花园才开花结果。很快，佩德罗的一个学生做了一个几何地图，如图3，解决了佩德罗第一个问题的一小部分；如果AB
