整数部分
十进制计数法:一(一)、十、百、千、万…都称为计数单位，其中“一”是计数的基本单位。十张一元的是10元，十张十元的是100元…每两个相邻计数单元之间的比率是10。这种计数方法叫做十进制计数法。
如何读整数:从上一级开始读各级(上亿，上万)的名字，不要读每一级末尾的零。其他数字中的一个或几个零只读出一个“零”。
整数写:从高位开始写，没有单位就写0。
四舍五入法:根据尾数最高位数中的数字，求约数。小于5则四舍五入，大于等于5则四舍五入，尾数前移一位。这种求约数的方法叫做四舍五入法。
整数大小比较:位数多的数较大，位数相同的数较大，位数相同的数大于位数第二的数，以此类推。
小数部分
把整数1平均分成10份，100份，1000份…这些部分是十分之几、百分之几和千分之几…这些分数可以用小数表示。比如1/10是0.1，7/100是0.07。
小数点右边第一位称为第十位，计数单位为十分之一(0.1)；第二个数字称为百分位数，计数单位是百分之一(0.01)…小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。小数部分有几个数字，称为几个小数。例如，0.36是两位小数，3.066是三位小数。
十进制读数:整数读数，十进制读数，顺序十进制读数。
十进制书写:小数点写在单位的右下角。
小数的本质:在小数末尾加0，保持0不变。简化。
小数位置移位引起大小变化:右移放大左减，1，203，000倍。
小数大小对比:整数部分大就大；整数相同的话，十位就大；诸如此类。
分数和百分比
■分数和百分比的含义
1.分数的含义:将单位“1”平均分成几个部分，代表这样一个或几个部分的数称为分数。在乐谱中，代表单元“1”平均被分成多少部分的数字称为乐谱的分母；一个数字表示已经复制了多少份，称为分数的分子；其中一种叫做分数单位。
2.百分数的含义:表示一个数是另一个数的百分数的数称为百分数。也叫百分比或百分数。百分比通常不以分数的形式书写，而是用一个具体的“%”来表示。百分比一般只表示两个数量关系的倍数关系，后面不能跟单位名称。
3.百分比表示两个量之间的比率关系，后面不能写计量单位。
4.百分比:百分之几就是十分之几。
■分数类型
根据分子、分母、整数的条件不同，可分为真分数、假分数、带分数。
■分数与除法的关系以及分数的基本性质
1.除法是带有运算符号的运算；分数是一个数字。所以一般应该说股息相当于一个分子，但不能说股息是一个分子。
2.因为分数与除法有着密切的关系，所以分数的基本性质可以根据除法中的“商不变”性质得到。
3.分数的分子和分母都被同一个数相乘或相除(0除外)，分数的大小保持不变。这叫分数的基本性质，是除数和总分数的基础。
■简化点和一般点
1.分子和分母都是质数的分数叫做最简分数。
2.把一个分数变成和它相等但分子和分母更小的分数叫做归约。
3.归约法:用分子分母的公约数(1除外)去分子分母；通常，我们必须除法，直到我们可以得到最简单的分数。
4.将不同分母的分数除以同分母的分数等于原分数，称为总分数。
5.一般的除法方法:先找到原分母的最小公倍数，然后把每个分数变成以这个最小公倍数为分母的分数。
■倒计时
1.乘积为1的两个数互为倒数。
2.求一个数的倒数(除了0)，只要把这个数的分子和分母对调就行了。
3和1的倒数是1，0没有倒数。
■分数比较
1.分母相同的分数，分子越大的分数越大。
2.分子相同的分数，分母较小的分数较大。
3.分母和分子不同的分数，通常是先分成有共同分母的分数，然后再进行比较。
4.如果对比较的分数进行评分，首先比较它们的整数部分，整数部分较大的那个分数较大；如果整数部分相同，比较它们的小数部分，小数部分最大的那个小数部分最大。
■百分比、折叠和百分比的相互关系:
比如七折是百分之三十，七五折是百分之七十五，百分比是万分之几。比如10%的折扣就是质量差。0%，65%就是65%。
■税收和利息:
税率:应纳税额与各项收入的比率。
利率:利息和本金的百分比。由银行按年或按月计算。
利息的计算公式:利息=本金×利率×时间。
百分比和分数之间有三个主要区别:
1.意义不一样。Percent是“表示一个数是另一个数的百分比的数。”只能表示两个数之间的倍数关系，而不能表示一个具体的数。比如可以说1米是5米的20%，不能说“一根绳子有20%米长。”因此，百分比后面不能跟单位名称。分数是“平均分配单元‘1’。；也可以表示一定的量。
2.适用范围不同。百分比常用于生产、工作、生活中的调查、统计、分析和比较，而分数常用于没有整数结果时的测量和计算。
3.书写形式不同。百分比通常不是写成分数，而是写成百分号“%”。比如45%，写作:45%；百分比的分母固定为100，所以无论百分比的分子和分母之间有多少个公约数，都没有减少；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数，分数的分子只能是自然数，其表达式有真分数、假分数和带状分数。计算结果不是最简单分数的一般被归约成最简单分数，而是伪分数的被归约成带状分数。
数的整除性
■可分性的含义
当整数A除以整数b(b≠0)时，商正好是一个没有余数的整数，所以我们说A能被B整除(或者说B能被A整除)。
A除以B的意义，当得到的商是整数或有限小数，余数为0时，我们说A可以被B除，其中A和B可以是自然数，也可以是小数(B不能为0)。
■除数和倍数
1.如果数A能被数B整除，则称A为B的倍数，称B为A的约数。一个数的除数是有限的，其中最小的除数是1，最大的除数是它本身。3.一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，它没有最大倍数。
■奇数和偶数
1.能被2整除的数叫做偶数。例如，0、2、4、6、8、10…注意:0也是偶数2，被2整除的数叫做基数。例如，1、3、5、7、9…
■可分性的特征
1.能被2整除的数的特征:0，2，4，6，8。
2.在一个单位中能被5: 0或5整除的数的特征。
3.能被3整除的数的特点:一个数的每个数位的数之和能被3整除，这个数也能被3整除。
■质数和合数
1.一个数只有两个约数，1和它本身。这个数叫做质数。
2.一个数除了1和它本身之外，还有其他的约数。这个数叫做合数。
3，1既不是质数，也不是合数。
4.自然数根据除数的多少可以分为质数和合数。
5.自然数根据能否被2整除，可分为奇数和偶数。
■分解质因数
1.每一个合数都可以写成几个质数的乘积，叫做这个合数的质因数。比如18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
2.用几个质因数相乘来表示一个合数叫做因式分解质因数。通常用短除法分解质因数。
3.几个数的公因数叫做这些数的公因数。最大的一个叫做这些数的最大公因式。公因数只有两个1的数，叫做互质数。几个数的公倍数叫做这些数的公倍数。最大的一个叫做这些数的最大公倍数。
4.特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。(1)如果较大的数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最大公约数。(2)如果几个数成对，它们的最大公约数是1，较小的公约数是这几个数相乘的乘积。
■奇数和偶数的运算特性:
1.两个相邻自然数之和为奇数，乘积为偶数。
2.奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶；奇-奇=偶，
奇-偶=奇，偶-奇=奇，偶-偶=偶；奇x奇=奇，奇x偶=偶，偶x偶=偶。
整数，小学，分数初等算术
■四则运算法则
1.加法A、整数和小数:相同位数对齐，从低位开始，小数到一位b、分母相同的分数:分母不变，分子相加；分母不同的分数:先除，后加。
2.减法A，整数和小数:相同的数字对齐。如果从低位开始减，哪个数字不够，十的时候减一，然后减b，分母不变，分子减。分母不同的分数:先除，后减。
3.乘法A、整数与小数:将被乘数与乘数每一位上的数相乘，数的最后一位将与最后一位相匹配。最后加上乘积，乘积的小数位与两位数因子的小数位相同。b、分数:乘以分子的积是分子，乘以分母的积是分母。可以先减的产品，要简化。
4.除法A，整数和小数:除数有多少位？先看被除数的前几位(不够的话再看一位)，除被除数外的哪一位上写商。除数是小数，先转换成整数再除以。商中的小数点与被除数的小数点对齐，数A除以数B(0除外)等于数A除以数B的倒数。
■操作法则
加法交换律A+B = B+A
结合律(a+b)+c = a+(b+c)
减法性质A-B-C = A-(B+C)
a-(b-c)=a-b+c
乘法交换律a×b=b×a
结合律(a×b)×c=a×(b×c)
分配定律(a+b) × c = a× c+b× c
除法性质a \\\\u( b×c)= a \\\\u b \\\\u c
a \\\\(b \\\\c)= a \\\\b×c
(a+b)c = a \\\\c+b \\\\c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
商不变性质m≠0 a÷b=(a×m)÷(b×m) =(a÷m)÷(b÷m)
■乘积的变化规律:在乘法中，如果一个因子不变，另一个因子扩大(或缩小)几倍，乘积也扩大(或缩小)同样的倍数。
概括:一个因子放大a因子，另一个因子放大b因子，乘积放大AB因子。
一个因子减a因子，另一个减b因子，乘积减AB因子。
商不变定律:除法中，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同倍数，商不变。
概括:被除数放大(或缩小)一个因子，商放大(或缩小)一个因子，而除数不变。
被除数不变，除数放大(或缩小)一倍，但商缩小(或扩大)一倍。
利用积的变化规律和商不变性的性质可以使一些计算变得简单，但在带余数的除法中要注意余数。
比如:8500÷200=除数和除数可以同时减100倍，即85÷2=，商不变，但此时余数1减100，那么原来余数应该是100。
简单方程
■用字母代表数字。
用字母表示数字是代数的基本特征，简单明了，也能表达数量关系的一般规律。
■使用字母代表数字的注意事项
1.当数字与字母、字母、字母相乘时，乘号可以缩写为“”，也可以省略。数与数相乘时，不能省略乘号。
2.当1乘以任意字母时，“1”被省略。
3.当一个数字和一个字母相乘时，把数字写在字母前面。
■包含字母的公式及其评估
求含有字母的公式的值或用公式求值时，要注意书写格式。
■平等和等式
平等的公式叫做平等。
含有未知数的方程叫做方程。
判断一个公式是不是方程有两个条件:一是含有未知数；第二是平等。所以，方程一定是方程，但方程不一定是方程。
■方程的解和方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
求方程解的过程叫做解方程。
■用一系列方程解文字题时，如果问题中所需的未知量已经用字母表示了，求解时就不用写了，否则先把所需的未知量设为x。
■求解方程的方法
1、直接利用零件之间的关系进行四则运算来解决。比如x-8=12。
附录+附录=和一个加数=和-另一个加数。
减-减=差分减=减-差分减=差+减
乘数×乘数=乘积一个因子=乘积÷另一个因子
分频器/分频器=分频器=分频器/分频器=分频器×商
2.先把含有未知数X的项看成一个数，然后求解。比如3x+20=41。
先把3x想成一个数再解。
3.按照四则运算的顺序计算，将方程变形，然后求解。比如2.5×4-x=4.2，
要先求2.5×4的乘积，这样方程就可以转化为10-x=4.2，然后求解。
4.利用运算法则或性质变换方程，然后求解。比如2.2x+7.8x = 20。
首先利用运算法则或性质将方程变形为(2.2+7.8) x = 20，然后通过计算括号将方程变形为10x = 20，最后求出解。
比率和比例
■比率和比例应用问题
在工业生产和日常生活中，一个量往往是按照一定的比例进行分配的，这种分配通常称为比例分配。
■问题解决策略
在解比例分布相关的习题时，要善于找出总量和分布的比值，然后把分布的比值换算成分量或份数来回答。
■解决正负比例应用问题的策略
1.检查问题，找出与问题相关的两个量。
2.分析判断问题中两个相关量是成正比还是成反比。
3、未知，列比例公式
4.解决方案比率样式
5.测试并写出答案
数字和符号的感觉
■在数学教学中培养学生的数感，主要是指学生具有用数来表达具体数据和数量关系的能力；对不同算术运算的判断能力，计算能力，选择适当方法(心算、笔算、使用计算器)实施计算的经验；可以从数据中进行推断，并检验数据和推断的准确性和可靠性，等等。
培养学生数感的目的是使他们学会数学思维，学会用数学方法理解和解释实际问题。
■数感的培养有利于学生提出问题和解决问题能力的提高。学生在遇到问题时，自觉主动地与一定的数学知识和技能建立联系，从而有可能建构与具体事物相关的数学模型。具有一定的数感是完成此类任务的重要条件。比如如何对所有参加校运动会的运动员进行编号？这是一个实际问题。没有固定的解决方案。可以用不同的公式，不同的排列方案在实用性和方便性上可能会有所不同。比如你可以从数字上区分年级和班级，区分男生女生，或者快速知道一个队员在参加什么样的赛事。
■数的概念本身是抽象的，数的概念的建立不是一次完成的。学生理解和掌握数的概念需要一个过程。在理解数的过程中，学生应更多地接触和体验相关的情境和事例，在现实背景中感受和体验，会使学生更具体、更深入地掌握数的概念，树立数感。在认识数的过程中，让学生谈论身边的数和生活中用到的数。如何用数字来表达身边的事情，会让学生觉得数字就在身边，很多现象用数字就可以表达的简单明了。估算一本书的字数，一本书有多少页，一把大豆里有多少粒谷物等等。，是学生建立数感的基础，对学生理解数的意义会有很大的帮助。
■要鼓励学生用自己独特的方式表达具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号感的决定性因素。
字母表示法的引入，是学习数学符号，学会用符号表达特定情境中隐含的数量关系和变化规律的重要步骤。尽可能从实际问题引入，让学生感受字母表征的意义。
首先用字母表示运算法则，运算法则，计算公式。算法的推广深化和发展了对对数的理解。
第二，字母是用来表达现实世界和各种学科中的各种数量关系的。比如匀速运动中速度v，时间t，距离s的关系为s=vt。
再次，用字母表示数字，便于从具体情况中抽象出数量关系和变化规律，并准确表达出来，有利于进一步用数学知识解决问题。比如我们在实际问题中用字母表示未知量，在问题中用等式关系列出方程。
■字母和表达在不同的场合有不同的含义。例如:
5=2x+1代表X满足的一个条件。其实X在这里只是占据了一个特殊的数，它的值可以通过解方程来求出。
Y=2x代表变量之间的关系，X是自变量，可以取定义域内的任意数，Y是因变量，Y随着X的变换而变化；
(a+b) (a-b) = a-b代表一个广义算法和一个恒等式；
如果a和b分别代表矩形的长和宽，S代表矩形的面积，那么S=ab代表计算矩形面积的公式，这也意味着矩形的面积随着长和宽的变化而变化。
■如何培养学生的符号感
我们应该尽力帮助学生理解实际问题情境中的符号、表达式和关系的含义，并在解决实际问题中发展他们的符号感。
符号操作训练是必要的，适当地、分阶段地进行一定数量的符号操作，但不提倡过多的正规操作训练。
学生符号感的发展不可能一蹴而就，而应该贯穿于数学学习的全过程，随着学生数学思维的提高而逐步发展。
数量的计算
■数量、长度、尺寸、重量、速度等。可以客观测量的事物称为量。将被测量的量与标准量进行比较称为测量。用作测量标准的量称为测量单位。
■编号+单位名称=名称编号
只有一个单元名的称为单体。
有两个或两个以上单位名称的称为合数。
高级单位数，比如把米换成厘米，低级单位数，比如把厘米换成米。
■只有一个单位名称的数字称为单号。比如5小时，3公斤(只有一个单位)。
有两个或两个以上单位名称的称为合数。比如5小时6分钟，3公斤500克(用两个单位)。
56平方分米=(0.56)平方米是将单个数转换成单个数。
560平方分米=(5)平方米(60平方分米)是一个将单个数字转化为复合数字的例子。
■高层单位是相对于低层单位而言的。比如“米”是相对分米的高级单位，相对千米的低级单位。
■常用计算公式表
(1)矩形面积=长×宽，计算公式为s = a b。
(2)正方形面积=边长×边长，计算公式为S = a× a。
(3)矩形的周长:(长+宽)× 2，计算公式s=(a+b)×2。
(4)正方形周长=边长× 4，计算公式为s= 4a。
(5)一个平四边形的面积=底×高，计算公式为S = ah。
(6)三角形面积=底×高÷2，计算公式为s=a×h÷2。
(7)梯形面积=(上底+下底)×高度÷2，计算公式为s=(a+b)×h÷2。
(8)长方体体积=长×宽×高，计算公式为v=abh。
(9)圆的面积=π×半径平方，计算公式为S =лr ^ 2。
(10)立方体体积=边长×边长×边长，计算公式为v = a 3。
(11)长方体和正方体的体积可以写成底面积×高，计算公式为v=sh。
(12)圆柱体的体积=底部面积×高度，计算公式为V = s h。
■一年12个月(31天的月份是1月、3月、5月、7月、8月、10月和12月，30天的月份是4月、6月、9月和11月，平年28天，闰年29天)。
■闰年是4的倍数，整百年必须是400的倍数。
■平年有365天，闰年有366天。
第一个世纪是从1到100，第二十个世纪是从1901到2000。
平面图形的理解与计算
■三角形
1.三角形是由三条线段围成的图形。它是稳定的。从三角形的一个顶点到它的对边画一条垂直线，顶点和垂直底脚之间的线段称为三角形的高度。三角形有三个高度。
2.三角形的内角之和是180度。
3.三角形按角度可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4.三角形按其边可分为等腰三角形、等边三角形和等边三角形。
■四边形
1.四边形是由四条线段围成的图形。
2.任何四边形的内角之和是360度。
3.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
4.两组对边平行的平行四边形称为平行四边形，容易变形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。正方形是一种特殊的长方形。
■圆圈
圆是平面上的弯曲图形。同圆或同圆的直径相等，直径等于半径的两倍。一个圆有无数对称轴。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。
■扇形是由圆心角的两个半径和它对着的弧所包围的图形。扇形是轴对称图形。
■轴对称图形
1.如果一个图形沿直线对折，两边的图形可以完全重叠，这个图形称为轴对称图形；这种窒息叫做对称轴。
2.线段、角、等腰三角形、矩形、正方形等。都是轴对称图形，它们对称轴的个数不一样。
■周长和面积
1.平面图形的长度叫做周长。
2.平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3.常见图形周长和面积的计算公式
